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確率変数・確率分布

おはようございます!いよいよ今回から統計について書いていきます。
ただ統計の勉強を始めるにあたって、まず知っておかなければならないのが確率。

ということで、今回はその第一歩!
確率変数やら確率分布やらについて書いていきます。


・確率と確率変数
まず大前提として、あるAという事柄の起こる確率をと表し、
また確率変数はと表します。
ここで確率変数とは、各値それぞれに対して確率の与えられた変数のことを言います。

具体的に言うと、
”1~6までの目の出るサイコロ1つを投げ、1が出る確率は1/6である”ということは、

と表します。
この例において確率変数は、それぞれ1/6という確率の与えられた目の数1~6(つまり、取り得る値)のことをいいます。
ちなみにこの場合、小数などをとばして1,2,3,4,5,6の整数のみを取っていますが、
このように確率変数がとびとびの値(離散値)の場合を離散型、
一方、連続値を取る場合を連続型と言います。


・確率分布
上で書いたように離散型、連続型といった2種類の確率変数があるのですが、
次はそれぞれの場合確率はどのように分布しているのかを考えてみます。


まず離散型について。
確率変数が離散型の場合、

なるf(x)を、確率変数Xに対する確率分布と言います。
要はX=1である確率をf(1),X=2のときをf(2),...と表すということです。
またここでこの確率分布は、

を満たしています。
この2式はそれぞれ、”確率は常に0以上である”、”確率の総和は1である”ということを意味しています。
式の意味さえわかればこの2式は簡単かと思います。
これらより、確率分布は0≦f≦1を満たすことが分かります。
ちなみにこの確率分布のグラフは例えば
離散分布
というようなものになります。
このグラフにおいて、縦線の長さが確率を表しています。


次に連続型について。
確率変数が連続型の場合、

なるf(x)を、確率変数Xに対する確率密度分布と言います。
これは、底辺:Δx、高さ:f(x)の長方形の面積を、x=aからbまで足し合わせたもので、
区分求積法の考え方をイメージしてもらえればいいかと思います。
f(x)dxを確率、∫を和の記号と考えれば離散型の場合とそう違わないように考えられます。
また密度分布についても、

を満たしています。
結局この2つは離散型と同様、確率は0以上(dx>0より確率f(x)dx≧0)であり、総和は1であることを意味しています。
ここであくまで確率を表すのはf(x)ではなくf(x)dxなので、密度分布は確率分布と違い、0≦fではあるけれど、上には1以下どころか発散する可能性もあります。
ちなみにこの密度関数のグラフは例えば、
密度分布
というようなものになります。
このグラフにおいては、離散型とは違い面積が確率を表しています。
(なので、P(X=a)のようなピンポイントな点の確率は0と扱うことになります)


そして最後に、

なるF(x)を定義し、これを累積分布関数といいます。
これは単純に、ある確率変数xまでの確率の累積をあらわす関数です。
ちなみにこれを密度関数f(x)を用いて表すと、

となり、また"F"と"f"という記号から予想がつくかもしれませんが、

を満たします。
ここでこの分布関数のグラフは離散型、連続型それぞれについて、
img017.jpg
のようになり、どちらも最終的に1に収束します。


※ちなみに(累積)分布関数は見ての通り単調増加型です。
また、連続型の確率変数に対してはもちろん連続関数となりますが、
離散型の場合も左連続でないだけで、右連続ではあります。
(左連続は、F(x)上の任意の点に対し左からの極限が取れるとき、右連続は右から取れるときに言えます。)


かなり長くなってしまいましたが、とりあえず今回はここまで!眠い!
次回は確率変数の変換あたりを書こうと思います。

なにか意見や感想等あれば、コメントに残していただけるとものすごくうれしいです。
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プロフィール

hynor

Author:hynor
数学科の大学生です。
これから統計学を1から勉強していきます!

バンドをやっていたり、音楽が好きです。
V系(DELUHI、ナイトメア、ヴィドール、ヴェルサイユとか)・YUI・℃-uteあたりが特に好きです。

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